基底の変換と座標の変換
2022-12-19
基底による座標の導入
以下、\(\mathbb{K}\) は実数の集合 \(\mathbb{R}\) または複素数の集合 \(\mathbb{C}\) のどちらかをあらわすことにします。
\(\mathbb{K}\) 上の \(n\) 次元線形空間 \(V\) があるとします。また、\(V\) と同じ次元（つまり \(n\) 次元）の数ベクトルの空間 \(\mathbb{K}^n\) を用意しておきます。
\(V\) の基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) を１つ選んでおくと、\(V\) のどんなベクトル \(\boldsymbol{x}\) も
\[ \boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2 + \cdots + x_n\boldsymbol{a}_n\]
と１通りにあらわすことができるということをすでに学んでいます。このことを利用すれば、このベクトル \(\boldsymbol{x}\) を数ベクトル \(\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\) と同一視することができます。つまり、 \(V\) に属しているベクトルと \(\mathbb{K}^n\) に属している数ベクトルを同一視できるようになるわけです。
この同一視では、\(V\) における和と \(\mathbb{K}^n\) における和は整合性がとれているということがわかります。さらに、\(V\) におけるスカラー倍と \(\mathbb{K}^n\) におけるスカラー倍も整合性がとれています。詳しく言うと…
２つ \(V\) のベクトル \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) があるとし、これらはそれぞれ \(\mathbb{K}^n\) の数ベクトル \(\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right)\) と同一視されるとします。
\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\) は ちゃんと \(\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right)\) と同一視され、
\(r\boldsymbol{x}\) はちゃんと \(r\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\) と同一視される
ということです。
ではここで、言葉の定義をすることにします。
定義
\(V\) のベクトル \(\boldsymbol{x}\) に対して上に説明したような同一視で決まる数ベクトル \(\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\) を \(\boldsymbol{x}\) の座標といいます。
注意：\(V\) の基底を取り替えると、同一視の仕方も変わります。つまり、\(\boldsymbol{x}\) の座標は変ることになります。
そこでこれから、基底の取り換えと座標の変わり方について調べることにします。
基底の変換
\(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) と \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) を \(V\) の２つの基底とします。
\(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) は \(V\) の基底ですから、 \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\) はそれぞれ\[ \begin{align} &\boldsymbol{b}_1=p_{11}\boldsymbol{a}_1+p_{21}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{n1}\boldsymbol{a}_n\\ &\boldsymbol{b}_2=p_{12}\boldsymbol{a}_1+p_{22}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{n2}\boldsymbol{a}_n\\ &\qquad\vdots\\ &\boldsymbol{b}_n=p_{1n}\boldsymbol{a}_1+p_{2n}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{nn}\boldsymbol{a}_n\\ \end{align}\tag{1} \]
\[ (\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n)=(\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n) \left(\begin{array}{c} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}\\ \end{array}\right)\tag{2} \]
\[\left(\begin{array}{c} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}\\ \end{array}\right)\]
を基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) から \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) への変換行列といいます。
さらに、この変換行列に、たとえば\[ P= \left(\begin{array}{c} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}\\ \end{array}\right) \]
\[ (\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n)=(\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n)P \tag{3} \]
とあらわすことができます。
注意：この話では、\(V\) は何らかの線形空間と言っているだけなので、\(V\) は一般には数ベクトルの空間とは限りません。（もちろん、\(V\) が数ベクトルの空間の場合も話に含めることができます。）ですから、この話に出てくる \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\) や \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\) は数ベクトルとは限らず、一般には数が並んでできているベクトルではありません。ですからさらに、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\) を横に並べてカッコでくくった \((\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n)\) や \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\) を横に並べてカッコでくくった \((\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n)\) は普通の意味では行列ではありません。どちらも、\(n\) 個のベクトルを横に並べてカッコでくくりひとかたまりにしただけのものです。しかし、このようにすることにより行列の掛け算を流用して \((1)\) 式を \((2)\) 式のように書き換えてみたわけです。
定理
基底の変換行列は正則です。つまり逆行列をもつ行列です。
証明
\(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) と \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) を \(V\) の２つの基底とします。
まず、\(P\) を基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) から \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) への変換行列とします。つまり、\[ (\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n)=(\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n)P \tag{3} \]
が成り立っているとします。
また、\(Q\) を基底 \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) から基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) への変換行列とします。つまり、\[ (\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n)=(\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n)Q \tag{4} \]
が成り立っているとします。
ではここで、\((3)\) 式の右辺に現れる \((\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n)\) を \((4)\) 式を使って書き換えることにしましょう。すると、\[ \begin{align} (\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n) &=(\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n)P\\[6pt] &=(\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n)QP \end{align} \]
となります。これは、基底 \(\lt \boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n \gt\) から 自分自身への変換行列が \(QP\) であることを意味します。よって、\(QP\) は単位行列に等しいということ、つまり \[QP = E_n\] が成り立つことがわかります。
同様にして、\((4)\) 式の右辺に現れる \((\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n)\) を \((3)\) 式を使って書き換えることにすると、
\[ \begin{align} (\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n) &=(\boldsymbol{b}_1\,\boldsymbol{b}_2\,\cdots\,\boldsymbol{b}_n)Q\\[6pt] &=(\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n)PQ \end{align} \]
となります。これは、基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\,\cdots\,\boldsymbol{a}_n \gt\) から自分自身への変換行列が \(PQ\) であることを意味します。よって、\(PQ\) は単位行列に等しいということ、つまり \[PQ = E_n\] が成り立つことがわかります。
つまり、\(QP=E_n,PQ=E_n\) が成り立つので \(P\) と \(Q\) はお互いに相手の逆行列になっていることがわかりました。ですから、基底の変換行列は正則であるということになります。
例
\(2\) 次の数ベクトルの空間を\(V\) とします。 \(\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right)\) を使うと基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) ができます。
詳しく言うと…
\(c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{0}\) とすると、成分の計算をおこなって\[ \left\{ \begin{align} c_1-c_2=0\\ c_1+c_2=0 \end{align} \right. \]
となります。 これを解くと \(c_1=c_2=0\) が得られます。 ですから、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\) は一次独立です。
\(V\) は \(2\) 次元ですから \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\) にどんなベクトル \(\boldsymbol{x}\) を追加しても、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{x}\) は一次従属になります。これは、\(\boldsymbol{x}\) が \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\) の一次結合としてあらわされることを意味します。また、\(\boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\) を使うと基底 \(\lt \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\gt\) ができます。
- 基底 \(\lt \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\gt\) から基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) への変換行列を求めてみます。
であるので、
\[ \begin{align} \boldsymbol{a}_1&=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=1\cdot\boldsymbol{e}_1+1\cdot\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{a}_2&=\left(\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=-1\cdot\boldsymbol{e}_1+1\cdot\boldsymbol{e}_2 \end{align} \]
とあらわすことができます。 ですから基底 \(\lt \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\gt\) から基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) への変換行列は \(\left(\begin{array}{r} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\) です。\[ \left(\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2\right) =\left(\boldsymbol{e}_1\,\boldsymbol{e}_2\right) \left(\begin{array}{r} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array}\right) \]
- 基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) から基底 \(\lt \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\gt\) への変換行列を求めてみます。
それは、基底 \(\lt \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\gt\) から基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) への変換行列の逆行列です。 つまり、となります。\[ \left(\begin{array}{r} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array}\right)^{-1} =\left(\begin{array}{r} \frac12 & \frac12\\ -\frac12 & \frac12 \end{array}\right) \]
基底の変換に伴う座標の変換
\(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) と \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) を \(V\) の２つの基底とします。
また、\(V\) のあるベクトル \(\boldsymbol{u}\) を それぞれの基底であらわしたとき、 \[ \begin{align} &\boldsymbol{u}= x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{a}_n\\ &\\ &\boldsymbol{u}= y_1\boldsymbol{b}_1+y_2\boldsymbol{b}_2+\cdots+y_n\boldsymbol{b}_n \end{align} \] となっているとします。
そして、基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) から \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) への変換行列を\[P=\left(\begin{array}{c} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}\\ \end{array}\right)\]
\[ \begin{align} &\boldsymbol{b}_1=p_{11}\boldsymbol{a}_1+p_{21}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{n1}\boldsymbol{a}_n\\ &\boldsymbol{b}_2=p_{12}\boldsymbol{a}_1+p_{22}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{n2}\boldsymbol{a}_n\\ &\qquad\vdots\\ &\boldsymbol{b}_1=p_{1n}\boldsymbol{a}_1+p_{2n}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{nn}\boldsymbol{a}_n\\ \end{align}\tag{5} \]
が成り立つとします。（添字のつき方に注意しましょう。）
このとき、\(\boldsymbol{u}\) の \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\)に関する座標 \(\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\) と\(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) に関する座標 \(\left(\begin{array}{c} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right)\) の間にどんな関係があるか調べます。 \((5)\) を使うと、\[ \begin{align} \boldsymbol{u}&= y_1\boldsymbol{b}_1+y_2\boldsymbol{b}_2+\cdots+y_n\boldsymbol{b}_n\\[6pt] &=y_1(p_{11}\boldsymbol{a}_1+p_{21}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{n1}\boldsymbol{a}_n)\\[6pt] &\qquad +y_2(p_{12}\boldsymbol{a}_1+p_{22}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{n2}\boldsymbol{a}_n)\\[6pt] &\qquad\qquad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ &\qquad\qquad +y_n(p_{1n}\boldsymbol{a}_1+p_{2n}\boldsymbol{a}_2+\cdots+p_{nn}\boldsymbol{a}_n)\\[6pt] &=(p_{11}y_1+p_{12}y_2+\cdots + p_{1n}y_n)\boldsymbol{a}_1\\[6pt] &\qquad+(p_{21}y_1+p_{22}y_2+\cdots + p_{2n}y_n)\boldsymbol{a}_2\\[6pt] &\qquad\qquad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\[6pt] &\qquad\qquad+(p_{n1}y_1+p_{n2}y_2+\cdots + p_{nn}y_n)\boldsymbol{a}_n\\[6pt] \end{align}\]
\[ \begin{align} x_1&=p_{11}y_1+p_{12}y_2+\cdots + p_{1n}y_n\\ x_2&=p_{21}y_1+p_{22}y_2+\cdots + p_{2n}y_n\\ &\quad\vdots\\ x_n&=p_{n1}y_1+p_{n2}y_2+\cdots + p_{nn}y_n\\ \end{align} \]
が成り立つことになり、これが２つの座標の間の関係をあらわす式です。
この関係式は、行列を使うと、\[\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right) \]
と書くことができます。
以上の議論を次の定理にまとめておくことにします。
定理
\(n\) 次元の線形空間 \(V\) の２つの基底 \(\lt\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) と基底 \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) があるとします。そして、 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) に関する \(V\) のベクトルの座標を\(\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\) 、\(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) に関する \(V\) のベクトルの座標を\(\left(\begin{array}{c} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right)\) とします。
このとき、基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n\gt\) から基底 \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_n\gt\) への変換行列を \(P\) とすると、座標の間には\[\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right) =P \left(\begin{array}{c} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right) \]
が成り立ちます。
補足： 旧基底から新基底への変換行列を \(P\) としたとき、基底の変換と座標の変換がどのようになるのか標語のように書くと、\[\begin{align} (新\,基\,底) &=(旧\,基\,底)P\\[15pt] \left(\begin{array}{c}旧\\座\\標\end{array}\right)&=P\left(\begin{array}{c} 新\\座\\標\end{array}\right) \end{align}\]
となっているわけです。
例
\(2\) 次の数ベクトルの空間を\(V\) とします。
\(\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right),\boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{r}-1\\1\end{array}\right)\) を使うと基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) ができます。
また、\(\boldsymbol{b}_1=\left(\begin{array}{r}1\\3\end{array}\right),\boldsymbol{b}_2=\left(\begin{array}{r}0\\2\end{array}\right)\) を使うと基底 \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2\gt\) ができます。
\(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) から \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2\gt\) への変換行列 \(P\) を求めてみます。
まず、\[\begin{align} (新\,基\,底) &=(旧\,基\,底)P\\ \end{align}\]
\[\left(\boldsymbol{b}_1\:\boldsymbol{b}_2\right) =\left(\boldsymbol{a}_1\:\boldsymbol{a}_2\right)P \]
\[ \left(\begin{array}{r} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array}\right)P \tag{6} \]
\[ \left(\begin{array}{r} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array}\right)^{-1} =\frac12\left(\begin{array}{r} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right) \]
\[ P=\frac12\left(\begin{array}{r} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} 2&1 \\ 1&1 \end{array}\right) \tag{7} \]
であることがわかります。これで \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) から \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2\gt\) への変換行列 \(P\) を求めることができました。
それではここで、この変換行列 \(P\) をつかって、ベクトルの座標の変換を計算してみます。
例えば（新）基底 \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2\gt\) に関する座標が \(\left(\begin{array}{r} 4\\ -7 \end{array}\right)\) であるベクトルを \(\boldsymbol{u}\) とし、このベクトルの座標が（旧）基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) を使うとどのように変わるのか考えることにします。すると、\[ \left(\begin{array}{c}旧\\座\\標\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c} 新\\座\\標\end{array}\right) \]
\[ \begin{align} \boldsymbol{u}\,の\,\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\, に\,関する座標 &=\left(\begin{array}{r} 2&1 \\ 1&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 4\\ -7 \end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{r} 1\\ -3 \end{array}\right) \end{align} \]
と計算できます。
念のため、本当にこれで合っているか確認してみます。そのために \(\boldsymbol{u}\) や基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) に関する座標が \(\left(\begin{array}{r} 1\\ -3 \end{array}\right)\) であるベクトルを数ベクトルとしての成分であらわしてみることにしましょう。
\(\boldsymbol{u}\) の正体を成分で計算しておくと、\[\boldsymbol{u} = 4\boldsymbol{b}_1 - 7\boldsymbol{b}_2 =4\left(\begin{array}{r}1\\3\end{array}\right)-7\left(\begin{array}{r}0\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}4\\-2\end{array}\right) \tag{8}\]
となります。
一方、基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) に関する座標が \(\left(\begin{array}{r} 1\\ -3 \end{array}\right)\) であるベクトルを成分であらわしてみると\[ 1\boldsymbol{a}_1-3\boldsymbol{a}_2 = 1\left(\begin{array}{r} 1\\ 1 \end{array}\right) -3\left(\begin{array}{r} -1\\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 4\\ -2 \end{array}\right) \]
となり、\((8)\) と比べると、ちゃんと \(\boldsymbol{u}\) と一致することがわかります。これで、先の計算が合っていることが確認できました。
注意：\(2\) 次の数ベクトルの空間には“自然な”基底 があります。 それは、\(\boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0 \end{array}\right),\boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1 \end{array}\right)\) を並べてできる基底 \(\lt \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\gt\) です。
そして何も断ることなく \(2\) 次の数ベクトルを \(\boldsymbol{x} = \left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2 \end{array}\right)\) のように書くとき、\(\left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2 \end{array}\right)\) は基底 \(\lt \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\gt\) に関する座標になっています。
そして、この例に出したベクトル \(\boldsymbol{u}\) は
- 基底\(\lt \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\gt\) に関する座標が \(\left(\begin{array}{r} 4\\ -2 \end{array}\right)\)、つまり、\(\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1 -2\boldsymbol{e}_2\)
- 基底\(\lt \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\gt\) に関する座標が \(\left(\begin{array}{r} 1\\ -3 \end{array}\right)\)、つまり、\(\boldsymbol{u}=1\boldsymbol{a}_1 -3\boldsymbol{a}_2\)
- 基底\(\lt \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\gt\) に関する座標が \(\left(\begin{array}{r} 4\\ -7 \end{array}\right)\)、つまり、\(\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{b}_1 -7\boldsymbol{b}_2\)
となっているわけです。数ベクトルの成分はあくまでも自然な基底に関する座標になっているだけであって、他の基底を使えば成分は座標に等しくはならないということに注意しましょう。
以上述べたようなことは \(2\) 次の数ベクトル空間に限らず、一般の \(n\) 次の数ベクトル空間についても成り立ちます。
まとめ
\(n\) 次元の線形空間では、基底を１つ決めておくことによりベクトルを \(n\) 次の数ベクトルと同一視できるようになります。この同一視のもとで、この線形空間のベクトルに対応している数ベクトルはベクトルの座標と呼ばれます。
線形空間に２つの基底を考えると、一方の基底のどのベクトルも他方の基底であらわすことができるので、他方の基底から一方の基底への変換行列が定まることになります。 そして変換行列は正則です。
線形空間の基底を取り替えると座標も変化します。
旧基底から新基底への変換行列を \(P\) とすると、
\[\begin{align} (新\,基\,底) &=(旧\,基\,底)P\\[15pt] \left(\begin{array}{c}旧\\座\\標\end{array}\right)&=P\left(\begin{array}{c} 新\\座\\標\end{array}\right) \end{align}\]
となっています。
次元と基底