次元と基底
2022-12-10
ここでは、ベクトルの一次独立の概念を用いることにより線形空間に次元と基底という概念を定義します。
以下、\(\mathbb{K}\) は実数の集合 \(\mathbb{R}\) または複素数の集合 \(\mathbb{C}\) のどちらかをあらわすことにします。
おさらい：一次独立とは
\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間 \(V\) に属しているいくつかのベクトルとします。
\(c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+c_n\boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{0}\) が成り立つのは \(c_1,c_2,\cdots,c_n\) をすべて \(0\) のときだけである場合、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) は一次独立であるというのでした。そしてこれは、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) のうちのどのベクトルも、それ以外の残りのベクトルの一次結合であらわすことができないということと同じことでした。
線形空間の次元
ある線形空間に対して、そこにどれだけたくさんの一次独立なベクトルが存在しているのかということを考えることにより線形空間の次元という概念を定義することができます。
定義
\(V\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間とします。 \(V\) に \(n\) 個の一次独立なベクトルが存在しているものの、 \(n+1\) 個以上の一次独立なベクトルは存在しないとき、\(V\) は \(n\) 次元の線形空間であるといいます。（つまり、\(V\) に最大で \(n\) 個の一次独立なベクトルが存在しているときに、\(V\) を 「\(n\) 次元の線形空間」というわけです。）
また、線形空間 \(V\) の次元を \(\mathrm{dim}V\) という記号であらわします。
このように、有限個の一次独立なベクトルが存在するものの、いくらでもたくさんの一次独立なベクトルが存在するわけではない線形空間を有限次元の線形空間といいます。
一方、\(V\) に いくらでもたくさん一次独立なベクトルが存在するとき、\(V\) は無限次元の線形空間であるといいます。
例
矢印で扱うことができる平面のベクトルの空間 \(V^2\) では、\(2\) 個までなら一次独立なベクトルが存在します。実際、零ベクトル \(\boldsymbol{0}\) ではなく、平行ではない２つのベクトルは一次独立です。しかし、\(3\) 個以上の一次独立なベクトルは存在しません。 ですから \(V^2\) は \(2\) 次元の線形空間です。
例
\(3\) 次の数ベクトルの空間を \(V\) とします。\(V\) には \(3\) 個までなら一次独立なベクトルが存在します。実際、たとえば\[ \boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right),\, \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{c} 0\\1\\0\end{array}\right),\, \boldsymbol{e}_3=\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1\end{array}\right) \]
なぜなら…
\[ c_1\boldsymbol{e}_1+c_2\boldsymbol{e}_2+c_3\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{0} \]
\[c_1=0,c_2=0,c_3=0\]
なぜなら…
\(4\) 個のベクトル\[\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{c} a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{array}\right),\, \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{c} a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{array}\right),\, \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{c} a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{array}\right),\, \boldsymbol{a}_4=\left(\begin{array}{c} a_{14}\\a_{24}\\a_{34}\end{array}\right)\]
\[ c_1\boldsymbol{a}_1+c_2\boldsymbol{a}_2+c_3\boldsymbol{a}_3+c_4\boldsymbol{a}_4=\boldsymbol{0} \]
が成り立つのは \(c_1,c_2,c_3,c_4\) はどんな数のときなのかということを考えてみましょう。
この式は次のような、式の数が \(4\) 個で未知数が \(3\) 個の連立一次方程式\[\left\{ \begin{align} &a_{11}c_1+a_{12}c_2+a_{13}c_3+a_{14}c_4=0\\ &a_{21}c_1+a_{22}c_2+a_{23}c_3+a_{24}c_4=0\\ &a_{31}c_1+a_{32}c_2+a_{33}c_3+a_{34}c_4=0\\ \end{align} \right. \]
以上より、\(3\) 次の数ベクトルの空間は \(3\) 次元の線形空間であることがわかります。
線形空間の基底
基底とは
線形空間に属しているすべてのベクトルを一次結合をつくることによりあらわすことができるベクトルの組について考えることにします。そこで次のような定義をすることにします。
定義
\(V\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間とし、\(V\) のベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) が次の条件を満たしているとします。
- \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) は一次独立である。
- \(V\) のどんなベクトル \(\boldsymbol{x}\) も
のように \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) の一次結合であらわされる。
\[ \boldsymbol{x} = x_1\boldsymbol{a}_1 + x_2\boldsymbol{a}_2 +\cdots + x_n\boldsymbol{a}_n \]
このとき、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) は \(V\) の基底であるといいます。そして、基底を \(\lt\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\gt\) のように書きあらわします。
ただし、基底はベクトルの並ぶ順番も区別して考えるようにします。たとえば \(\lt\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\gt\) と \(\lt\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_n\gt\) は別の基底と考えます。
\[ \boldsymbol{x} = x_1\boldsymbol{a}_1 + x_2\boldsymbol{a}_2 +\cdots + x_n\boldsymbol{a}_n \]
のように \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) の一次結合であらわす仕方は１通りです。このことは以前証明してあります。
例
矢印で扱うことができる平面のベクトルの空間 \(V^2\) では、「\(\boldsymbol{0}\) ではなく、平行ではない２つのベクトル \(\boldsymbol{u}\) と \(\boldsymbol{v}\)」は基底の定義の２つの条件を満たします。ですからこれを並べれば基底 \(\lt \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\gt\) ができます。 並べる順を変えた \(\lt \boldsymbol{v},\boldsymbol{u}\gt\) は別の基底であると考えます。
例
\(3\) 次の数ベクトルの空間を \(V\) では、たとえば\[ \boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right),\, \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{c} 0\\1\\0\end{array}\right),\, \boldsymbol{e}_3=\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1\end{array}\right) \]
は基底の定義の２つの条件を満たします。ですからこれを並べて \(\lt\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\gt\) とすると基底になります。また、並べる順を変えて、たとえば \(\lt\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_1\gt\) としたものは別の基底であると考えます。
基底の存在と次元
ところで、どんな線形空間にも、基底はあるのでしょうか？
この問いに一部答えるのが次の定理です。
定理
\(V\) は有限次元の線形空間で \(\boldsymbol{0}\) とは異なるベクトルが存在しているとします。 このとき \(V\) には基底が存在します。
証明
\(V\) には \(\boldsymbol{0}\) とは異なるベクトルが存在しているのでそれを \(\boldsymbol{a}_1\) とすれば、\(\boldsymbol{a}_1\) は線形独立です。 そして \(V\) のどんなベクトルも \(\boldsymbol{a}_1\) の一次結合としてあらわせるのなら、基底 \(\lt\boldsymbol{a}_1\gt\) が得られ、証明は終わることになります。
\(V\) のベクトルで \(\boldsymbol{a}_1\) の一次結合としてあらわせないものがあるとしましょう。それを \(\boldsymbol{a}_2\) とすると、以前紹介した定理より、\(\boldsymbol{a}_1\) に \(\boldsymbol{a}_2\) を追加した \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\) は一次独立です。そして \(V\) のどんなベクトルも \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\) の一次結合としてあらわせるのなら、基底 \(\lt\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\gt\) が得られ、証明は終わることになります。
\(V\) のベクトルで \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\) の一次結合としてあらわせないものがまだあるとしましょう。それを \(\boldsymbol{a}_3\) とすると、以前紹介した定理より、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\) に \(\boldsymbol{a}_3\) を追加した \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3\) は一次独立です。そして \(V\) のどんなベクトルも \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3\) の一次結合としてあらわせるのなら、基底 \(\lt\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3\gt\) が得られ、証明は終わることになります。
この先も以上のような議論を繰り返し進めていくことができますが、\(V\) が有限次元なのでこの議論はいつか必ず終了します。つまり、有限次元であるということの定義を思い出してみれば、どこかの段階で、一次独立な \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) にさらにベクトルを追加して一次独立にすることはできなくなってしまうわけです。というわけで \(V\) には基底が存在することになります。疑問
有限次元の線形空間では基底は一種類だけなのでしょうか？
答え
たとえば、矢印で扱うことのできる平面のベクトルの空間では、\(\boldsymbol{0}\) ではなく、平行ではない２つのベクトル \(\boldsymbol{u}\) と \(\boldsymbol{v}\) を並べさえすれば基底 \(\lt \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\gt\) ができます。 もちろんこのような \(\boldsymbol{u}\) と \(\boldsymbol{v}\) の組はいくらでも考えることができます。ですから、基底は無数にあるということになります。
疑問
有限次元の線形空間には無数の基底があることがわかりましたが、どの基底でも含まれているベクトルの数は一定なのでしょうか？
この疑問を考える際に役に立つのが次の命題です。
命題
線形空間 \(V\) の \(n\) 個のベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) は一次独立とします。また \(V\) のどんなベクトルも、ある \(m\) 個のベクトル \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\ldots,\boldsymbol{b}_m\) の一次結合であらわすことができるとします。 このとき、\(n\leq m\) が成り立ちます。
証明
まず、\(n\) 個のベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) は一次独立なので、この中には１つも \(\boldsymbol{0}\) は含まれていないことに注意しましょう。
\(V\) のどんなベクトルも \(m\) 個のベクトル \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\ldots,\boldsymbol{b}_m\) の一次結合であらわすことができるので、何らかの数 \(c_1,c_2,\ldots ,c_m\) によって\[ \boldsymbol{a}_1=c_1\boldsymbol{b}_1 + c_2\boldsymbol{b}_2+\cdots+c_m\boldsymbol{b}_m \]
\[\boldsymbol{b}_1=\frac{1}{c_1}\boldsymbol{a}_1 -\frac{c_2}{c_1}\boldsymbol{b}_2-\cdots- \frac{c_m}{c_1}\boldsymbol{b}_m\]
となります。これより、\(V\) のどんなベクトルも \(m\) 個のベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{b}_2,\ldots,\boldsymbol{b}_m\) の一次結合であらわすことができることになります。
すると何らかの数 \(c_1,c_2,\ldots ,c_m\) によって \[\boldsymbol{a}_2=c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{b}_2++ c_3\boldsymbol{b}_3 + \cdots+c_m\boldsymbol{b}_m\] とあらわすことができます。 もしここで \(c_2=c_3=\cdots=c_m=0\) であるとすると \(\boldsymbol{a}_2=c_1\boldsymbol{a}_1\) となりますが、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\) は一次独立ですから矛盾が起こります。ですから、\(c_2,c_3,\ldots,c_m\) のうちの少なくとも１つは \(0\) ではありません。必要に応じて添字の付け方を変えて考えても問題はないので、ここでは \(c_2 \neq 0\) とします。 すると、\[\boldsymbol{b}_2=-\frac{c_1}{c_2}\boldsymbol{a}_1 +\frac{1}{c_2}\boldsymbol{a}_2-\frac{c_3}{c_2}\boldsymbol{b}_3 \cdots- \frac{c_m}{c_2}\boldsymbol{b}_m\]
となります。 これより、\(V\) のどんなベクトルも \(m\) 個のベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{b}_3,\ldots,\boldsymbol{b}_m\) の一次結合であらわすことができることになります。
この議論は \(\boldsymbol{a}_k\) が残っているうちは繰り返すことができ、\(\boldsymbol{b}_k\) が \(\boldsymbol{a}_k\) に取り替えられていきます。そして、先に \(\boldsymbol{b}_k\) たちが全部なくなり、いくつかの \(\boldsymbol{a}_k\) が余るということは起こりません。
なぜなら、もしそういうことが起こったとすると、
- \(V\) のどんなベクトルも \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_{k-1}\) の一次結合であらわされる。
- \(\boldsymbol{a}_k,\boldsymbol{a}_{k+1},\cdots,\boldsymbol{a}_n\) は残っている。
この命題より次の定理が導かれます。
定理
有限次元の線形空間 \(V\) に \(n\) 個のベクトルからなる基底 \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\gt\) と \(m\) 個のベクトルからなる基底 \(\lt \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\ldots,\boldsymbol{b}_m\gt\) があるとします。 このとき \(n=m\) が成り立ちます。つまり、有限次元の線形空間ではどの基底でも含まれるベクトルの数は同じです。
証明
\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) は基底をつくるのですから、もちろん \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) は一次独立です。 \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\ldots,\boldsymbol{b}_m\) は基底をつくるのですから、もちろん \(V\) のどんなベクトルも \(m\) 個のベクトル \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\ldots,\boldsymbol{b}_m\) の一次結合であらわすことができます。ですから先の命題より \(n \leq m\) です。\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) と \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\ldots,\boldsymbol{b}_m\) の立場を入れ替えて考えることができるので、\(m\leq n\) であることもわかります。 以上より \(n=m\) と結論できます。疑問
基底に含まれているベクトルの数と線形空間の次元の間にはどんな関係があるのでしょうか。
この疑問に答えるのが次の定理です。
定理
線形空間の次元と基底に含まれるベクトルの数は等しくなっています。
証明
線形空間 \(V\) の \(n\) 個のベクトルから作られる基底を \(\lt \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\gt\) とします。 また、\(m\) 個の一次独立なベクトル \(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\ldots\boldsymbol{b}_m\) があるとします。どんなベクトルも \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) の一次結合としてつくることができますから、先の命題より \(m\leq n\) であると結論できます。ですから、\(V\) には \(n+1\) 個以上の一次独立なベクトルは存在しないことになります。
つまり、\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\ldots,\boldsymbol{a}_n\) という \(n\) 個の一次独立なベクトルは存在しているが、\(n+1\) 個以上の一次独立なベクトルは存在しないということになるので、次元の定義を思い出してみると、\(V\) の次元は基底に含まれるベクトルの数 \(n\) と等しくなっているということになります。まとめ
ある線形空間において、そこに属している一次独立なベクトルの最大数をその線形空間の次元といいます。そして、有限個の一次独立なベクトルが存在するものの、いくらでもたくさんの一次独立なベクトルが存在するわけではない線形空間を有限次元の線形空間といい、いくらでもたくさん一次独立なベクトルが存在するような線形空間は無限次元の線形空間であるといいます。
有限次元の線形空間には、一次結合をつくることによりその線形空間に属しているすべてのベクトルをあらわすことができるような一次独立なベクトルの組が存在しています。そして、そのようなベクトルの組をその線形空間の基底といいます。
有限次元の線形空間に存在している基底は幾通りもありますが、どの基底でも含まれるベクトルの数は同じです。
有限次元の線形空間の次元と基底に含まれるベクトルの数は等しくなっています。
一次独立と一次従属