線形空間とは
2022-11-11
これから線形空間の一般論について説明していきます。 線形空間は、矢印で取り扱うことのできる幾何ベクトルの空間や数を並べてできる数ベクトルの空間がもつ性質を取り出すことにより一般化、抽象化された概念です。
幾何ベクトルの空間や数ベクトルの空間には和とスカラー倍と呼ばれる２つの演算が定義されていました。そしてその２つの演算について、数の世界と似た交換法則や結合法則、分配法則などいくつかの計算法則が成り立っていました。ところで、これらの性質をもつ集合は、幾何ベクトルの空間や数ベクトルの空間のほかにはないのでしょうか？
実はいろいろあるのです。
そこで、そのような集合を取り扱うためにも、これからここで、きちんとした定義をすることにします。
線形空間の定義と例
まず前置きの話です。
以下、実数全体の集合を \(\mathbb{R}\)、複素数全体の集合を \(\mathbb{C}\) であらわすことにします。 そして、以後の話はすべて \(\mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) のどちらか１つを決めた上での話で、どちらにするのも自由です。 そこで、\(\mathbb{ K }\) と書くことにより \(\mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) のどちらか１つをあらわすことにします。
では本題です。
定義
集合 \(V\) があるとします。 \(V\) が以下のような条件をすべて満たしているとき、\(V\) は \(\mathbb{K}\) 上の線形空間であるといいます。
- ある決まりによって、どんな \(V\) の２つの要素 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) からも \(V\) の１つの要素がつくられるようになっています。そして、この決まりによって、\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) からつくられる要素を \(\boldsymbol{x} +\boldsymbol{y}\) という記号であらわし \(\boldsymbol{x}\) と \(\boldsymbol{y}\) の和と呼ぶことにしますが、この決まりに対して以下の性質が満たされています。
-
どんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\) に対しても、
が成り立つ。
\[(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z} =\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})\]
-
どんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) に対しても、
\[\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} =\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\] が成り立つ。
-
\(V\) には特別な要素が１つあって、それを \(\boldsymbol{0}\) という記号であらわすことにすると、どんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x}\) に対しても、
が成り立つ。
\[\boldsymbol{0}+\boldsymbol{x} =\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}\]
-
どんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x}\) に対しても
となる \(V\) の要素 \(\boldsymbol{y}\) がただ１つ存在する。
\[\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}= \boldsymbol{0}\]
-
どんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\) に対しても、
- ある決まりによって、どんな \(\mathbb{K}\) の要素 \(r\) と、どんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x}\) からも \(V\) の１つの要素がつくられるようになっています。そしてこのとき、この決まりによって、\(\mathbb{K}\) の要素 \(r\) と \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x}\) からつくられる要素を \(r\boldsymbol{x}\) という記号であらわし \(\boldsymbol{x}\) の \(r\) 倍（スカラー倍）と呼ぶことにしますが、この決まりについて以下の性質が満たされていています。
-
どんな \(\mathbb{K}\) の要素 \(r\) とどんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) に対しても、
\[r(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) =r\boldsymbol{x}+r\boldsymbol{y}\] が成り立つ。
-
どんな \(\mathbb{K}\) の要素 \(r,s\) とどんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x}\) に対しても、
\[(r+s)\boldsymbol{x} =r\boldsymbol{x}+s\boldsymbol{x}\] が成り立つ。
-
どんな \(\mathbb{K}\) の要素 \(r,s\) とどんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x}\) に対しても、
が成り立つ。
\[(rs)\boldsymbol{x} =r(s\boldsymbol{x})\]
-
\(\mathbb{K}\) の要素 \(1\) とどんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x}\) に対しても、
が成り立つ。
\[1\boldsymbol{x} =\boldsymbol{x}\]
-
どんな \(\mathbb{K}\) の要素 \(r\) とどんな \(V\) の要素 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) に対しても、
集合 \(V\) が \(\mathbb{K}\) 上の線形空間であるとき、\(V\) の要素はベクトルと呼ばれ、\(\mathbb{K}\) は \(V\) の基礎体または係数体と呼ばれます。
以上が線形空間と呼ばれるもののきちんとした定義です。いくつもの条件があり、一見大変な定義に見えますが、和とスカラー倍と呼ばれる２つの演算が定義されていて、その２つの演算について、数の世界と似た交換法則や結合法則、分配法則などいくつかの計算法則が成り立っている集合ということになります。
それでは以下にこのような条件をすべて満たす集合の例をいくつか紹介します。
例
\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) として考えれば、平面の幾何ベクトルの空間や空間の幾何ベクトルの空間はどちらの上記の定義の条件ををすべて満たしていることをすでに知っています。つまり、どちらも \(\mathbb{R}\) 上の線形空間です。
例
\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) の場合でも \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) の場合でも、数ベクトルの空間は上記の定義の条件をすべて満たしていることをすでに知っています。つまり、\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\)、\(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) どちらの場合でも数ベクトルの空間は \(\mathbb{K}\) 上の線形空間です。
例
\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) のどちらかに決めた上で、たった１つの要素 \(u\)しかない集合 \(A\) を考え、 \(A\) における和を\[u+u=u\]
となることに決め、\(A\) における \(\mathbb{K}\) の要素 \(r\) によるスカラー倍を \[ru=u\] となることに決めます。このように和とスカラー倍を決めた \(A\) は、線形空間の定義に述べてある条件をすべて満たすことを簡単に確認できます。ですから、この \(A\) を \(\mathbb{K}\) 上の線形空間として扱うことができます。
少し考えると、この \(u\) は線形空間の定義の条件にあらわれる \(\boldsymbol{0}\) の役割を果たしていることがわかります。ですから、この線形空間はよく \(\{\boldsymbol{0}\}\)という記号であらわされます。
例
項の数が \(n\) である実数の有限数列 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) すべてを集めてできる集合を \(V\) とします。 ここではこの数列をカッコで囲って、\((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) のようにあらわすことにします。 ここで、２つの数列 \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\)、\((b_1,b_2,\ldots,b_n)\) の和を\[(a_1,a_2,\ldots,a_n) +(b_1,b_2,\ldots,b_n) =(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)\]
として定義します。（つまり、和の第 \(k\) 項は もとの２つの 第 \(k\) 項の和として定義します。）
また、実数 \(r\) による数列 \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) のスカラー倍を \[r(a_1,a_2,\ldots,a_n)=(ra_1,ra_2,\ldots,ra_n)\] として定義します。
このように和とスカラー倍を定義した \(V\) は線形空間の定義に述べてある条件をすべて満たすことを簡単に確認できます。ですから、この \(V\) を \(\mathbb{R}\) 上の線形空間として扱うことができます。 ちょっと考えるとこの \(V\) は \(n\) 次の数ベクトル空間と同じものであることがわかります。
例
項の数が無限である実数の数列をすべて集めてできる集合は、前の例の有限数列の集合と同じようにして \(\mathbb{R}\) 上の線形空間になります。
例
閉区間 \([a,b]\) で定義されていて \(\mathbb{R}\) に値を取る関数をすべて集めてできる集合を\(V\) とします。
２つの関数 \(f\) と \(g\) の和 \(f+g\) を、閉区間 \([a,b]\) に属している各 \(x\) に対して、\[(f+g)(x)=f(x) + g(x)\]
詳しく言うと…
つまり、和 \(f+g\) （これは閉区間 \([a,b]\) で定義されていて \(\mathbb{R}\) に値を取る関数となるわけです）の \(x\) における値は \(f\) の \(x\) における値と \(g\) の\(x\) における値の和として定義しているわけです。\[(rf)(x)=r(f(x))\]
詳しく言うと…
つまり、スカラー倍 \(rf\) （これは閉区間 \([a,b]\) で定義されていて \(\mathbb{R}\) に値を取る関数となるわけです）の \(x\) における値は \(f\) の \(x\) における値を \(r\) 倍したものとして定義しているわけです。詳しく言うと…
たとえば、\(V\) の要素である３つの関数 \(f,g,h\) と閉区間 \([a,b]\)に属しているありとあらゆる \(x\) に対して、\[ \begin{align}\left(f+(g+h)\right) (x) &=f(x)+(g+h)(x)\\ &= f(x)+\left(g(x)+h(x)\right)\\ &= \left(f(x)+g(x)\right)+h(x)\\ &=(f+g)(x)+h(x)\\ &=\left((f+g)+h\right)(x) \end{align} \]
\[f+(g+h)=(f+g)+h\]
が成り立つということになり、線形空間の定義にあらわれる条件1.の(1)を満たすことがわかります。 このようにして、ほかの条件もすべて確認できます。 しかし、そういうことを生真面目に行わなくても、以下説明するようなことが理解できれば、どうせどの条件も満たしているはずだということを悟ることができます。
どういうことかというと、この話における関数の和やスカラー倍は、閉区間 \([a,b]\)上の各点 \(x\) に対応する値の和やスカラー倍で定義されています。ですから、実質的には実数の集合 \(\mathbb{R}\) における和や積を使って 関数の集合 \(V\) 上の和やスカラー倍を定義しているにすぎません。そして、\(\mathbb{R}\) では結合法則、交換法則、分配法則などが成り立っています。というわけで、これらの法則はそのままそっくり関数の集合でも成り立つわけです。ですから、この \(V\) を \(\mathbb{R}\) 上の線形空間として扱うことができます。
例
漸化式 \(a_{n+1}=2a_n\) を満たす実数の無限数列 \(a_1,a_2,\ldots,\) すべてを集めてできる集合を \(V\) とします。ここではこの数列をカッコで囲って、\((a_1,a_2,\ldots)\) のようにあらわすことにします。
そして２つの数列 \((a_1,a_2,\ldots)\)、\(( b_1,b_2,\ldots)\) の和を\[(a_1,a_2,\ldots) +( b_1,b_2,\ldots) =(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots)\]
として定義します。
また実数 \(r\) による数列 \((a_1,a_2,\ldots)\) のスカラー倍を\[r(a_1,a_2,\ldots)=(ra_1,ra_2,\ldots)\]
として定義します。
ここで問題になるのは、このように作られた \((a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots)\) という数列や \((ra_1,ra_2,\ldots)\) という数列は \(V\) の要素なのか？ということです。もし、 \(V\) の要素にならないようなことがあれば、この方法で \(V\) に和やスカラー倍を定義できないということになってしまいます。
これらが \(V\) の要素なのかそうではないのかということは、これらがはじめにでてきた漸化式を満たすかどうかにかかっています。そこで、これらが漸化式を満たすかどうかを確認することにします。
まず、和やスカラー倍をする前の数列は漸化式を満たしていることに注意しておきます。すると、 \[a_{n+1} +b_{n+1}=2a_n + 2b_n=2(a_n+b_n)\] と計算できることがわかります。つまり、和として作られる数列は漸化式を満たすことがわかります。また、\[ra_{n+1}=r\times 2a_n =2(ra_n)\]
と計算できることもわかるので、スカラー倍として作られる数列も漸化式を満たすことがわかります。
以上で、和をとったりやスカラー倍をして作られる数列も \(V\) の要素になることが確認できました。
このように和とスカラー倍を定義した \(V\) は線形空間の定義に述べてある条件をすべて満たすことを簡単に確認できます。ですから、この \(V\) を \(\mathbb{R}\) 上の線形空間として扱うことができます。
例
閉区間 \([a,b]\) で定義され、微分方程式 \(\displaystyle \frac{ d }{ dx }f(x)=2f(x)\) を満たすすべての関数 \(f\) を集めてできる集合を \(V\) とします。
\(V\) に属する２つの関数 \(f\) と \(g\) の和 \(f+g\) を、閉区間 \([a,b]\) に属している各 \(x\) に対して、\[(f+g)(x)=f(x) + g(x)\]
となるものとして定義します。
また、\(V\) に属する関数 \(f\) の実数 \(r\) 倍 \(rf\) を、閉区間 \([a,b]\) に属している各 \(x\) に対して、\[(rf)(x)=r(f(x))\]
となるものとして定義します。
ここで問題になるのは、このように作られた \(f+g\) という関数や \(rf\) という関数は \(V\) の要素なのか？ということです。もし、\(V\) の要素にならないようなことがあれば、この方法で \(V\) に和やスカラー倍を定義できないということになってしまいます。
そこで、これらがはじめにでてきた微分方程式を満たすかどうかを確認することにします。このとき、和やスカラー倍をする前の関数は微分方程式を満たしていることや、微分する操作は和やスカラー倍を保つことに注意しておきます。すると、\[ \begin{align} \frac{d}{dx}(f+g)(x) &=\frac{d}{dx}\left(f(x)+g(x)\right)\\ &=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)\\ &=2f(x)+2g(x)\\ &=2(f(x)+g(x))\\ &=2(f+g)(x) \end{align} \]
と計算してよいということもわかりますから、スカラー倍することにより得られる関数 \(rf\) も微分方程式を満たすことがわかります。
以上で、和をとったりやスカラー倍をして作られる関数も \(V\) の要素になることが確認できました。
このように和とスカラー倍を定義した \(V\) は線形空間の定義に述べてある条件をすべて満たすことを簡単に確認できます。 ですから、この \(V\) を \(\mathbb{R}\) 上の線形空間として扱うことができます。
まとめ
和とスカラー倍と呼ばれる２つの演算が定義されていて、それらの演算に関して望ましいいくつかの計算法則が成り立つ集合を線形空間といいます。
スカラー倍をする時に使って良い数を実数に限った場合は \(\mathbb{R}\) 上の線形空間と呼ばれ、複素数まで許した場合は \(\mathbb{C}\) 上の線形空間と呼ばれます。ただしここで、 \(\mathbb{R}\) は実数の集合、\(\mathbb{C}\) は複素数の集合をあらわしています。
線形空間の例として、幾何ベクトルの空間、数ベクトルの空間、適切な条件を満たしている数列や関数の空間などがあります。
行列の階数と小行列式